Le problème de la mesure existe-t-il vraiment en mécanique quantique ? – Science étonnante

Un petit billet pour vous parler d’une lecture récente qui m’a énormément marqué : le texte de Sidney Coleman intitulé « Quantum Mechanics in your face ». J’en avais déjà entendu parler mais je n’avais jamais pris le temps de l’étudier. Il s’agit initialement d’un exposé donné par S.Coleman, dont il existe au moins une vidéo sur Youtube et une transcription sur arXiv.

La première partie de l’exposé parle des inégalités de Bell, mais dans la deuxième partie du papier, Coleman présente un argument que j’ai trouvé extrêmement fort, et qui va dans le sens de dire que le problème de la mesure…n’existe pas ! L’argument est simple et très élégant, et je suis étonné de ne l’avoir jamais lu ailleurs. (Alors que j’ai pourtant lu quelques trucs sur cette question, et sur les interprétations de la mécanique quantique qui découlent de ce « problème de la mesure ».)

Comme je ne suis pas Sydney Coleman, il est probable que je ne fasse pas justice à l’argument en le racontant ici, donc je vous invite également à aller lire ou écouter l’original plutôt que la copie. Mais je crois que ça m’aide d’essayer de le reformuler par écrit, pour m’assurer que je l’ai bien compris.

Ce billet de blog va forcément être plus technique que d’habitude. Dans la suite, je vais supposer quelques familiarités avec la mécanique quantique : espace de Hilbert, état propre, observable, intrication…

Le problème de la mesure

Une façon de formuler le problème de la mesure est la suivante : comment se fait-il que quand je fais une mesure, j’obtiens toujours un résultat « bien défini », y compris quand le système est dans un état superposé pour la quantité que je mesure ?

La résolution « orthodoxe » de ce problème, c’est l’idée de réduction du paquet d’onde (ou d’effondrement de la fonction d’onde) : quand j’effectue une mesure, la fonction d’onde du système se trouve projetée dans un état qui semble aléatoirement sélectionné parmi les états propres de l’observable mesurée.

Ce qu’il y a d’insatisfaisant dans cette vision des choses, c’est qu’on se retrouve en mécanique quantique avec la coexistence de deux mécanismes d’évolution très différents :

d’un côté l’équation de Schrödinger (déterministe) qui gouverne l’évolution de l’état quantique en fonction du temps, tant qu’il n’y a pas de mesure;
et de l’autre la réduction du paquet d’onde (probabiliste), qui modifie instantanément la fonction d’onde au moment de la mesure.

De surcroit cette vision orthodoxe ne précise pas exactement ce qu’est une « mesure », et à partir de quel moment on passe d’une évolution unitaire déterministe à un effondrement de la fonction d’onde probabilisite.

Toutes les interprétations de la mécanique quantique ont pour objectif d’essayer d’éclairer cette question, et donc en définitive d’expliquer le caractère toujours « bien défini » des résultats de mesures, même quand on mesure un état superposé de l’observable considérée.

Or l’argument de Coleman va dans le sens de dire qu’il n’y a, en fait, aucun « problème » de la mesure, et donc nul besoin d’invoquer l’effondrement de la fonction d’onde, ou d’essayer de l’expliquer ou l’interpréter d’une façon ou d’une autre.

Pour Sidney Coleman, le seul mécanisme d’évolution des systèmes quantiques est l’équation de Schrödinger, il ne se passe rien de particulier au moment d’une mesure, et il n’y a donc pas de « problème de la mesure » à interpréter. (Ce qui place philosophiquement cette position dans la même famille que les tenants de l’interprétation « mondes multiples » d’Everett, même si Coleman ne le présente pas comme ça).

Coleman estime que quand une nouvelle théorie (ici la mécanique quantique) remplace une ancienne théorie (ici la mécanique classique), on essaye généralement d’interpréter l’ancienne théorie dans les termes de la nouvelle, et pas l’inverse ! Il estime que beaucoup d’interprétations font fausse route en essayant de calquer des images classiques sur la mécanique quantique, plutôt que de l’accepter pleinement. Et pour lui, accepter pleinement la mécanique quantique, cela signifie « Schrödinger et puis c’est tout », et pas de problème de la mesure.

Avant de voir l’argument en lui-même, faisons un petit détour par un préliminaire indispensable : la mesure en mécanique quantique selon John Von Neumann.

Von Neumann : la mesure comme une intrication

Dans la théorie orthodoxe, on sépare de façon radicale les systèmes quantiques et les appareils de mesure, qui eux sont considérés comme « classiques ». Mais le modèle de Von Neumann propose un point de vue différent, et propose de regarder ce qu’il se passe si on choisit de traiter un appareil de mesure comme un système quantique « comme un autre ».

Pour faire ça, on doit décrire l’appareil de mesure avec des états d’un certain espace de Hilbert, et ces états vont évoluer selon l’équation de Schrödinger, avec un certain hamiltonien qui gouverne cette évolution. Vu qu’un appareil de mesure est « gros », on imagine que cet espace de Hilbert est très grand et le hamiltonien associé très compliqué; mais en principe il n’y a pas de difficulté conceptuelle à traiter l’appareil de mesure comme un système quantique.

Considérons donc un appareil qui mesure le spin $+$ ou $–$ d’une particule selon un certain axe. Pour fonctionner comme tel, initialement l’appareil va être dans un état « neutre » $|M_0\rangle $, puis en interagissant avec la particule mesurée, il va évoluer vers un état $|M_+\rangle $ si le spin de la particule est détecté comme $+$, et $|M_-\rangle $si c’est $–$. Imaginez par exemple que ces deux états correspondent respectivement à quelque chose du genre « +1/-1 s’affiche sur l’écran ».

Considérons maintenant le système complet « particule ET appareil de mesure ». Si par exemple la particule est dans un état propre $|+\rangle $, le système complet sera initialement décrit par l’état

$$|+\rangle\otimes|M_0\rangle,$$

et à la fin du processus de mesure il se trouvera dans l’état

$$|+\rangle\otimes|M_+\rangle.$$

Dans ce cas l’opération de mesure correspond à une évolution

$$|+\rangle\otimes|M_0\rangle\ \ \longrightarrow\ \ |+\rangle\otimes|M_+\rangle$$

Notez qu’on parle bien là d’une évolution unitaire normale, selon l’équation de Schrödinger. Il n’y a pas de projection ou de réduction du paquet d’onde. C’est le hamiltonien total du système (qui comprend notamment le hamiltonien d’interaction entre la particule et l’appareil) qui provoque cette évolution. On a évidemment l’évolution symétrique pour la mesure d’un état qui est initialement un état propre de spin négatif

$$|-\rangle\otimes|M_0\rangle\ \ \longrightarrow\ \ |-\rangle\otimes|M_-\rangle$$

Maintenant imaginons que l’état initial de la particule soit un état superposé

$$\left(|+\rangle + |-\rangle \right).$$

(je vous épargne la normalisation). Par linéarité de l’évolution unitaire du système complet, un tel état évoluera selon

On voit bien ici que pour un état initial superposé, le système mesuré s’intrique avec l’appareil de mesure. L’état initial peut être décrit comme un produit tensoriel (donc pas d’intrication entre particule et appareil de mesure) mais pas l’état final. L’état final est un état intriqué.

Si on traite un appareil mesure comme un système quantique comme un autre, une opération de « mesure » est une intrication entre l’appareil de mesure et le système mesuré.

Evidemment à ce stade, on n’a pas résolu le problème de la mesure. On a juste évacué l’effondrement de la fonction d’onde en traitant l’appareil de mesure comme un système quantique, et en montrant que l’appareil de mesure se retrouve lui aussi dans un état superposé suite à l’intrication avec la particule qu’il mesure.

Mais le problème initial est toujours là : pourquoi MOI quand je fais une mesure avec l’appareil de mesure, j’obtiens toujours un résultat bien défini ? Sur mon écran où je lis le résulte de mesure, il ne s’affiche pas une superposition de +1 et -1 : je lis soit l’un, soit l’autre…ou du moins c’est l’impression que j’ai !

Alors voyons ce qu’en dit Sydney Coleman, et il commence par un petit échauffement.

Échauffement : les trajectoires rectilignes dans les chambres à brouillard

Coleman commence par un argument préliminaire qui vient répondre à un vieux paradoxe formulé par le physicien Neville Mott dès 1929. Le problème posé par Mott à l’époque est le suivant : considérons une chambre à brouillard, dans laquelle on place une source de particules, disons un bout de matériau radioactif qui émet des particules alpha.

Les particules alpha émises vont se visualiser dans la chambre à brouillard sous la forme de trace rectilignes. Ces traces sont dues à l’ionization des molécules de gaz qui baignent la chambre à brouillard, ionisation provoquée par le passage de la particule alpha. Par exemple ci-dessous (source) on a un morceau de thorite (ThSiO4) radioactif dans une chambre à bulle, et on visualise bien les traces rectilignes qui en partent.

Ce qui perturbait Neville Mott est la chose suivante : au niveau microscopique, la désintégration provoque l’émission d’une particule alpha qui (selon la théorie de Gamow) est typiquement dans un état d’onde s, c’est-à-dire avec une symétrie sphérique. Pourquoi dans ce cas observe-t-on toujours des traces rectilignes ? On s’attendrait plutôt à observer dans la chambre à brouillard un motif ayant une sorte de symétrie sphérique, comme des traces d’ionisations réparties en disque autour de la source.

Si on regarde ça comme un problème de mécanique quantique « orthodoxe », on pourrait dire que la particule est émise dans une superposition de toutes les orientations (onde s), mais que la chambre à brouillard joue simplement le rôle d’appareil de mesure classique, et donc sélectionne une orientation en particulier qui est celle que l’on observe dans la trace. Cette sélection fait effondrer la fonction d’onde de la particule alpha émise.

Mais Coleman propose de regarder cette question en reprenant le principe des mesures « à la Von Neumann », c’est-à-dire en traitant l’appareil de mesure (la chambre à brouillard) comme un système quantique, qui va interagir et s’intriquer avec la particule alpha qui vient d’être émise.

Notons $|C_0\rangle$ l’état initial de la chambre à brouillard, dans lequel la chambre est vierge de toute trace. Notons $|p\rangle$ l’état initial qu’aurait une particule qui serait émise au centre de la chambre avec une impulsion bien déterminée $p$ (attention $p$ est un vecteur, mais je vous fais grâce des flèches). Suivons donc Von Neumann et considérons le système complet « particule émise + chambre à brouillard ». Ce système est décrit par des états qui sont dans un espace de Hilbert qui est le produit tensoriel de l’espace de Hilbert de la particule et de celui de la chambre à brouillard. Le système complet est initialement dans l’état

$$|p\rangle\otimes |C_0\rangle.$$

C’est un état (pour l’instant) non-intriqué, puisqu’il peut se décrire comme un produit tensoriel d’un état de la particule et d’un état de la chambre. Puis cet état va évoluer vers un état intriqué qui décrit « la chambre à brouillard contenant une trace rectiligne dans la direction de $p$ ». Notons cet état $|\psi_p\rangle$, l’opération de mesure « à la Von Neumann » correspond donc à l’évolution (unitaire)

$$ |p\rangle\otimes |C_0\rangle \longrightarrow |\psi_p\rangle$$

Derrière cette évolution se cache un hamiltonien du système complet qui décrit notamment l’interaction entre la particule et la chambre, interaction qui est responsable de l’intrication, mais dont on n’a pas besoin de connaître explicitement le hamiltonien.

Définissons maintenant un opérateur que l’on va noter $ T $, et qui est simplement le projecteur sur le sous-espace engendré par tous les états $ |\psi_p\rangle $. Cela veut dire tout simplement que

$$ T|\psi_p\rangle = |\psi_p\rangle$$

et que $ T $ s’annule sur tous les états de l’espace de Hilbert qui sont orthogonaux aux $ |\psi_p\rangle $. Cet opérateur est une observable (au sens du formalisme quantique), à laquelle ne sont associées que deux valeurs propres : 0 et 1. Puisque les $ |\psi_p\rangle $ sont les vecteurs propres associés à la valeur propre 1, on peut voir $ T $ comme une observable (binaire) qui en quelque sorte répond à la question : « Y a-t-il oui ou non une trace rectiligne dans la chambre à brouillard ? ».

Maintenant considérons le cas où la particule alpha est émise comme une onde s de symétrie sphérique. Elle est donc initialement dans un état superposé qui est en gros (excusez la notation mathématique pas rigoureuse)

$$\int |p\rangle $$

Quand cette particule est émise, l’ensemble du système est dans l’état initial (non-intriqué, donc produit tensoriel)

$$\left(\int |p\rangle\right) \otimes |C_0\rangle = \int \left(|p\rangle \otimes |C_0\rangle\right)$$

puis par linéarité de l’évolution selon l’équation de Schrödinger, on a

$$\int \left(|p\rangle \otimes |C_0\rangle\right) \longrightarrow \int |\psi_p\rangle$$

On va noter $|\Psi\rangle$ cet état final qui est une superposition

$$|\Psi\rangle = \int |\psi_p\rangle.$$

Maintenant le point clé : que vaut l’observable « Y a-t-il une trace rectiligne dans la chambre ? » sur cet état superposé ? Puisque l’opérateur $ T $ est linéaire, on a

Donc l’état superposé $|\Psi\rangle$ est un vecteur propre de valeur propre 1 de l’opérateur « Y a-t-il une trace rectiligne ? ». En d’autres termes, même quand la particule est initialement dans un état superposé, la chambre à brouillard va « contenir une trace rectiligne » (au sens que son état quantique est un état propre de valeur 1 de l’opérateur « contient une trace rectiligne »). Et vous voyez qu’on aboutit à cette conclusion sans avoir eu besoin d’invoquer une réduction du paquet d’onde !

Ca parait difficile à appréhender, mais cette conclusion découle simplement des notions de superposition et de linéarité, et du fait de traiter complètement l’appareil de mesure comme un système quantique sans faire intervenir de processus de mesure « classique ».

L’argument de Coleman

Passons maintenant à l’argument présenté par Coleman (qu’il attribue à David Albert mais que je n’ai pas retrouvé aussi clairement énoncé dans le bouquin de Albert.)

Considérons trois éléments : (1) un électron dont on veut connaitre le spin, (2) un appareil de mesure approprié, et (3) un expérimentateur que je vais appeler David. On va considérer que les trois pris ensemble forment un système quantique. Je vais réutiliser la même notation que quand je présentais la mesure à la Von Neumann, je vais juste ajouter les états quantiques de l’expérimentateur.

En particulier on va noter $|D_0\rangle$ l’état initial « David est prêt à faire la mesure », $|D_+\rangle$ l’état « David est persuadé que le résultat de la mesure qu’il a obtenue est un spin + » et enfin $|D_-\rangle$ l’état « David est persuadé que le résultat de la mesure qu’il a obtenue est un spin -« .

Le processus de mesure d’un électron initialement dans l’état + correspond donc à l’évolution (unitaire)

L’électron s’intrique avec l’appareil de mesure qui à son tour s’intrique avec l’expérimentateur David. A la fin de la mesure l’appareil indique « + » et David pense effectivement que le résultat de la mesure qu’il vient d’obtenir est « + ». Notons $|\psi_+\rangle$ cet état final du système complet :

$$ |\psi_+\rangle = |+\rangle\otimes|M_+\rangle\otimes|D_+\rangle.$$

Evidemment on a le même genre d’évolution pour un électron initialement dans l’état propre associé à un spin négatif

Et on prend la même notation :

$$ |\psi_-\rangle = |-\rangle\otimes|M_-\rangle\otimes|D_-\rangle.$$

Maintenant le moment clé : considérons l’opérateur $T$ qui représente l’observable « David l’expérimentateur est persuadé d’avoir obtenu un résultat de mesure bien défini ». Les états $|\psi_+\rangle$ et $|\psi_-\rangle$ sont des états propres de valeur propre 1 de cet opérateur, puisque dans chacun de ces états, David l’expérimentateur est effectivement convaincu d’avoir obtenu un résultat bien défini.

Imaginons maintenant que l’électron soit dans un état initial superposé. Comme pour la chambre à brouillard, on aura par linéarité de l’évolution unitaire

et donc l’état final de l’ensemble du système sera simplement l’état superposé qui est une combinaison des deux états précédents

$$|\Psi> = |\psi_+\rangle + |\psi_-\rangle.$$

Et là vous me voyez surement venir : puisqu’à la fois $|\psi_+\rangle$ et $|\psi_-\rangle$ sont des états propres de valeur propre 1 de l’opérateur $T$, alors cet état $|\Psi>$ l’est aussi !

Donc même si le système est dans l’état final intriqué et superposé, l’expérimentateur David est tout de même convaincu avoir mesuré un résultat bien défini : en tant que « système quantique comme un autre », il n’a aucun moyen de sentir la différence.

En conclusion de cet argument, il n’y a rien de surprenant à ce que les expériences de mécanique quantique « donnent toujours des résultats bien définis », puisque si on traite l’ensemble de la chaîne de mesure comme un système quantique, il n’aurait pas pu en être autrement ! Et pour Coleman, cela évacue donc le problème de la mesure. Ce problème n’existe plus à partir du moment où on considère que l’évolution quantique c’est Schrödinger et rien d’autre, et qu’on admet (comme il nous le démontre avec son argument) que cela suffit à expliquer la phénoménologie de la mécanique quantique.

(Coleman poursuit ensuite avec un argument supplémentaire sur la perception des probabilités, je vous en fais grâce mais vous pouvez aller le lire directement.)

Wittgenstein et « de quoi aurait l’air le contraire ? »

Pour marteler son point, Coleman termine sur une anecdote concernant le philosophe Wittgenstein : Un ami de Wittgenstein le croise un jour perdu dans ses pensées, l’ami lui demande pourquoi, et Wittgenstein répond

Je me demandais pourquoi les gens ont pensé que c’est le Soleil qui tournait autour de la Terre, plutôt que le contraire ?
Eh bien parce tout à l’air comme si le Soleil tournait autour de la Terre !
Ah bon, mais de quoi ça aurait eu l’air, si ça avait eu l’air d’être le contraire ?

Je vous laisse réfléchir à cette punchline. Coleman pense qu’il se passe la même chose avec la réduction du paquet d’onde. On est persuadé que la réduction du paquet d’onde se produit, et nous le sommes tout simplement parce qu’elle a effectivement l’air de se produire, mais de quoi est-ce que ça aurait l’air si elle ne se produisait pas ? L’argument de Coleman nous dit que ça aurait l’air d’exactement la même chose : la vie normale de tous les jours.

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